PRODOTTI NOTEVOLI: LORO SCOMPOSIZIONE
Ricordiamo che i prodotti notevoli sono il risultato di particolari moltiplicazioni di polinomi: abbiamo quadrati, cubi, binomio somma per binomio differenza...
Per i casi nominati si considera anche la scomposizione in fattori: questa consiste nel procedimento inverso a quello seguito per calcolare il prodotto: ora siamo in presenza del polinomio ottenuto dalla moltiplicazione, e dobbiamo risalire ai polinomi che sono stati moltiplicati, cioè ai fattori.
a) polinomio quadrato: ci troviamo di fronte a un polinomio formato da monomi che sono o quadrati o doppi prodotti di monomi; il polinomio a2b2+6abx2+9x4 è un trinomio, contiene i termini a2b2 e 9x4 che sono quadrati rispettivamente di ab e 3x2, mentre +6abx2 è il doppio prodotto di ab e 3x2; si tratta perciò del quadrato di binomio: (ab+3x2)2. Il polinomio 9x2+x4+y6-6x3+6xy3-2x2y3 è formato da sei termini: potrebbe essere il quadrato di un trinomio; i termini 9x2, x4, y6 sono i quadrati rispettivamente di 3x, x2 e y3; veniamo ora ai doppi prodotti, che ci permetteranno di determinare il segno di questi monomi; -6x3 è il doppio prodotto (negativo) di 3x e x2: uno dei due è negativo; +6xy3 è il doppio prodotto di 3x e di y3; essendo positivo, i due monomi possono essere positivi; infine -2x2y3 è il doppio prodotto di x2 e di y3; uno di essi è negativo; da queste considerazioni si ricava che 3x e y3 sono positivi, mentre x2 è negativo. Perciò:
9x2+x4+y6-6x3+6xy3-2x2y3 =
= (3x- x2 + y3 )2
b) differenza di due quadrati : il polinomio 9y2-x4 è differenza di due monomi al quadrato: 9y2 è il quadrato di 3y, e x4 è il quadrato di x2 ; perciò, ricordando che si perviene alla differenza di due quadrati moltiplicando il binomio somma per il binomio differenza delle due basi, scriviamo:
9y2-x4 = (3x- x2) (3x+ x2 )
Naturalmente la differenza di due quadrati può essere tanto differenza di quadrati di monomi quanto di polinomi; vediamo questo esempio, in cui il primo termine è un binomio, il secondo un monomio:
a2b2-6abx2+9x4-100z2 = (ab-3x2)2 -(10z)2=
=((ab-3x2)-10z)((ab-3x2)+10z)=(ab-3x2-10z)(ab-3x2+10z)
c) cubo di un binomio: abbiamo di fronte un polinomio di quattro termini, due dei quali sono facilmente riconoscibili perché cubi dei due monomi di partenza (primo e secondo termine del binomio); gli altri due sono il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, e il triplo prodotto del quadrato del secondo per il primo. Dato il polinomio:
x12-6x8y3+12x4y6-8y9
notiamo che è un quadrinomio in cui spicca la presenza dei due monomi x12 e -8y9, cubi rispettivamente di x4 e di -2y3; il monomio -6x8y3 è 3(x4)2(-2y3), e infine 12x4y6 è 3(x4)(-2y3)2; si può quindi concludere che x12-6x8y3+12x4y6-8y9=(x4-2y3)3.