RACCOGLIMENTO DEL FATTOR COMUNE
PARZIALE O A GRUPPI
In determinate situazioni non esiste un MCD diverso da 1 per i termini di un polinomio, quindi non c'è un fattor comune totale, ma è possibile, evidenziando un fattor comune per gruppi di termini, ottenere un polinomio che può essere a sua volta evidenziato, e infine scrivere il polinomio come prodotto di due polinomi.
Vediamo un esempio: sia dato il polinomio
a2b2x3+ab3x3+ab2x-acx2-bc-c
"Raccogliamo" dai primi tre termini il loro MCD ab2x e dagli altri tre il relativo MCD -c, e procediamo come nel raccoglimento totale, indicando i primi tre termini come prodotto del MCD per il quoziente e così anche per i successivi tre termini; si ottiene:
(******) ab2x(ax2+b+1) -c(ax2+b+1)
A questo punto notiamo con piacere la presenza, sia nel primo prodotto che nel secondo, di un polinomio (ax2+b+1) che possiamo evidenziare: dividiamo poi i due prodotti per il polinomio fattor comune (ax2+b+1) che abbiamo evidenziato e otteniamo i due quozienti ab2x e -c; si può quindi scrivere:
(ax2+b+1)(ab2x-c)
Questa espressione rappresenta la scomposizione in fattori del polinomio di partenza.
Si è visto che la condizione indispensabile per poter scomporre in fattori un polinomi col "raccoglimento parziale" è di ottenere nei vari gruppi di monomi il medesimo polinomio quoziente quando si divide ciascun gruppo per il relativo MCD; se questo non accade, non si può proseguire evidenziando il polinomio quoziente comune e quindi non si ottiene una scomposizione in fattori di polinomi; da notare che (******) non rappresenta una scomposizione in fattori, dato che è una somma algebrica di due prodotti.