SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI POLINOMI
ELEMENTI ESSENZIALI
Il tema "scomposizione in fattori" ha notevole importanza per le applicazioni relative a molteplici argomenti dell'algebra: basti pensare alle operazioni con frazioni algebriche e alle operazioni con i limiti (solo per citare due situazioni a livelli di difficoltà ben diversi).
Scomporre in fattori un polinomio significa trovare due o più fattori -a loro volta monomi o polinomi - che moltiplicati diano il polinomio di partenza; mentre nella moltiplicazione si parte da due o più fattori e si arriva al polinomio prodotto, ora si percorre il cammino inverso: abbiamo il polinomio prodotto e dobbiamo trovare i fattori. Se i fattori in cui è stato scomposto il polinomio non sono più a loro volta scomponibili, si dice che è stata eseguita una scomposizione in fattori primi.
La scomposizione in fattori non prevede una regola generale, valida per ogni polinomio; si dovrà al contrario esaminare una per una svariate situazioni, ricordando che esistono pure dei polinomi irriducibili che non si possono scomporre; è quindi essenziale, in questo argomento, acquisire una vasta esperienza per mezzo di un paziente e intenso lavoro di soluzione di numerosi esercizi, esperienza che permetterà di riconoscere e classificare con immediatezza un polinomio riguardo alle sue possibilità di scomposizione.
Vediamo un generico esempio di scomposizione in fattori:
x6-x2 = x2(x4-1) = x2(x2-1)(x2+1) = x2(x2+1)(x+1)(x-1). Dalla scomposizione del binomio x6-x2 si sono così ottenuti quattro fattori; il primo di essi è il monomio x2; gli altri fattori sono irriducibili.