TRINOMIO NOTEVOLE DI 2° GRADO
Un altro caso interessante riguardo alla scomposizione in fattori è il trinomio di secondo grado del tipo x2+ kx +h dove k e h sono dei numeri interi. Se si riesce a trovare due numeri a e b tali che a*b=h e a+b=k il polinomio si scompone così:
x2+ kx +h = (x+a)(x+b)
Se infatti si esegue il prodotto a destra dell'uguale, si ottiene: x2+ax+bx+ab=x2+(a+b)x+ab=x2+ kx +h; la scomposizione può effettuarsi anche in questo modo: x2+ kx +h = x2+ax+bx+ab e raccogliendo a gruppi: x(x+a)+b(x+a)=(x+a)(x+b) Esempio: x2-7x+12; -7 è uguale a (-4)+(-3) mentre 12= (-4)*(-3); perciò x2-7x+12=(x-4)(x-3). Procedendo nel secondo modo: x2-7x+12=x2-4x-3x+12=x(x-4)-3(x-4)=(x-4)(x-3).
Quanto visto vale per un trinomio nel quale x2 abbia coefficiente 1; se invece il trinomio è del tipo mx2+ kx +h e si scoprono due numeri a e b tali che a*b=h*m e a+b=k, lo si può scomporre seguendo solo la via del raccoglimento parziale: sia dato il polinomio 3x2+7x-20; cerchiamo, fra i divisori di -20, due numeri il cui prodotto sia 3*(-20)=-60 e la cui somma sia +7; ovviamente i due numeri sono discordi e precisamente sono 12 e -5; quindi 3x2+7x-20= x2+12x-5x-20= 3x(x+4)-5(x+4)= (x+4)(3x-5).