PROBLEMI SULLA RETTA
Come si è avuto modo di notare, l'equazione della retta dipende dai due parametri m e q; pertanto, se sono date due condizioni cui deve soddisfare una retta, essa può essere determinata in modo univoco. Esempi: determinare l'equazione della (o dell')
a) retta passante per un punto
b) retta passante per due punti
c) retta parallela a una retta data e passante per un punto dato
d) retta perpendicolare a una retta data e passante per un punto dato
e) asse di un segmento AB, cioè la retta passante per il punto di mezzo del segmento e perpendicolare allo stesso.
SOLUZIONI
a) Dato il punto P1(x1,y1), vogliamo l'equazione di una retta passante per esso; la retta sarà y-y1=m(x-x1) da cui: y=mx-mx1+y1, con x1 e y1 numeri noti; la retta non è determinata, ma dipende dai valori m: al variare di m abbiamo le infinite rette passanti per P1.
b) Siano dati i punti P1(x1,y1) e P2(x2,y2) ; si può determinare m=(delta y)/(delta x)=(y2-y1)/(x2-x1) e sostituire il valore così trovato nell'equazione y=mx-mx1+y1 del punto (a).
c) Dati una retta e un punto: si scrive (punto a) l'equazione della retta che passa per il punto; quindi si trova il coefficiente angolare della retta data e lo si sostituisce a m nell'equazione y=mx-mx1+y1
d) Dati una retta e un punto: si scrive (vedi punto a) l'equazione della retta che passa per il punto noto; quindi si ricava il coefficiente angolare della retta richiesta in questo modo: individuato il coefficiente angolare m della retta data, se ne determina l'opposto dell'inverso m1; avremo m1= -1/m; si pone quindi il valore m1 al posto di m nell'equazione y=mx-mx1+y1 ricavata al punto (a). Esempio: determinare l'equazione della retta per P(5;-7) perpendicolare alla 2x+6y-4=0; la retta per P ha equazione y+7=m1(x-5); m1=-(-1/3)-1=3; sostituendo: y+7=3(x-5) e infine y=3x-22.
e) Il segmento dato è AB con A(-2;1) e B(8;-9) il punto medio sarà M(3;-4). L'asse di AB passa per M ed è perpendicolare ad AB. Retta generica per M: y+4=m1(x-3); ora ci serve m1; determiniamo l'm della retta AB: m=(-9-1)/(8+2) che fornisce m=-1; perciò m1=1 che ora si pone al posto di m1; infine y+4=-1(x-3) o più semplicemente y=-x-1.